数据结构：树和二叉树

树

1.树的概念和模型

树：是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它 叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集 合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以 有0个或多个后继

因此，树是递归定义的。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点; 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点; 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图：A是B 的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度; 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推;

树的高度或深度：树中节点的最大层次; 如上图：树的高度为4

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m(m>0)棵互不相交的多颗树的集合称为森林;(数据结构中的学习并查集本质就是 一个森林)

2.树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式， 如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子 兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* firstChild1;    // 第一个孩子结点
    struct Node* pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};

二叉树

二叉树：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子 树和右子树的二叉树组成。 二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。

二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

1.特殊的二叉树：

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉 树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对 于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号 从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。(假设树的高度是h，前h-1层都是满的，最后一层不满，但最后一层从左往右都是满的)

2.二叉树的存储结构

​ 二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

(1)二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2(i-1) 个结点.

若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2h- 1.

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2 +1

若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=LogN

(2)顺序存储：

​ 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树 会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

(3)链式存储：

​ 二叉树的链式存储结构：用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的 方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩 子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都 是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
   struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
   struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
   BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
   struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
   struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
   struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
   BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

3.二叉树链式结构的遍历

​ 所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访 问结点所做的操作依赖于具体的应用问 题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行 其它运算之基础。

前序/中序/后序的递归结构遍历：是根据访问结点操作发生位置命名 5

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中 (间)。

LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又 可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根 遍历。

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的 根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然 后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。(广度优先)

4.二叉树实现的代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDataType data;
}BTNode;
//树一般不直接遍历没有意义，就前中后序遍历
//分治递归算法
void PrevOrder(BTNode* root)//前序
{
	if (NULL == root)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)//中序
{
	if (NULL == root)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)//后序
{
	if (NULL == root)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}
//int size = 0;//方式一：定义全局变量（一般不用）
int TreeSize(BTNode* root)//求树节点的个数
{
	//if (NULL == root)
	//{
	//	return;
	//}
	//++size;
	//TreeSize(root->left);
	//TreeSize(root->right);
	//return size;
	//方式二
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
int TreeLeafSize(BTNode* root)//求叶子节点的个数
{
	if (NULL == root)
		return 0;
	if (NULL == root->left && NULL == root->right)
		return 1;
	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;
	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;
	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;
	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;
	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;
	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;
	PrevOrder(A);
	printf("\n");
	InOrder(A);
	printf("\n");
	PostOrder(A);
	printf("\n");
	printf("%d\n", TreeSize(A));
	printf("%d\n", TreeLeafSize(A));
	return 0;
}
//判断树是否是高度平衡的二叉树。（一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。）
struct TreeNode {
	int val;
	struct TreeNode* left;
	struct TreeNode* right;
};
//求树的最大深度
int maxDepth(struct TreeNode* root) {
	if (NULL == root)
		return 0;
	int leftDepth = maxDepth(root->left);
	int rightDepth = maxDepth(root->right);
	return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;}
bool isBalanced(struct TreeNode* root)
{
	if (NULL == root)
		return true;
	int leftDepth = maxDepth(root->left);
	int rightDepth = maxDepth(root->right);
	return abs(leftDepth - rightDepth) < 2
		&& isBalanced(root->left)
		&& isBalanced(root->right);
}
//给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 前序 遍历。
int Treesize(struct TreeNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : Treesize(root->left) + Treesize(root->right) + 1;
}
void PrevOrder(struct TreeNode* root, int* a, int* pi)
{
	if (NULL == root)
		return;
	a[*pi] = root->val;
	++(*pi);
	PrevOrder(root->left, a, pi);
	PrevOrder(root->right, a, pi);
}
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) {
	int size = Treesize(root);//计算树的节点的个数
	int* a = malloc(sizeof(int) * size);
	int i = 0;
	PrevOrder(root, a, &i);
	*returnSize = size;
	return a;
}